一直常聽到 mixed state、pure state 卻總是不太知道細節。因此簡單透過 YouTube 上的影片搭配 NotebookLM 做一下整理，雖然也不是到非常了解，但也略知一二。

Dirac bracket notation

Ket is a vector

$\lvert y\rangle$: $\overset{\rightharpoonup}{y}\in\mathcal{V} = {\small\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}}$. $\mathcal{V}$ is called state vector, and one example is $\mathcal{V}=\mathbb{C}^n$.

Bra is a linear transformation

$\langle x\rvert$: $\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^1= {\small\begin{pmatrix}\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n}\end{pmatrix}} = \overline{\overset{\rightharpoonup}{x}^T}$ (note the conjugate operation: $\overline{a+bi} = a-bi$).

Bracket

$\langle x\rvert y\rangle = {\small\begin{pmatrix}\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n}\end{pmatrix}}{\small\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}} = \sum^{N}_{j = 1}{\overline{x_j}y_j} = c\in \mathbb{C}^1$ (an inner product)

$\rvert y\rangle\langle x\rvert = {\small\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}}{\small\begin{pmatrix}\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n}\end{pmatrix}}$ (an outer product)

States

為了完整描述量子系統，僅僅使用其中一種 state 無法完整描述所有量子系統。在某些情況下，我們需要同時考慮源自量子力學的機率性和源自資訊不足的機率性。雖然在某些特定測量下，pure state 和 mixed state 可能給出相同的機率預測，但在一般情況下，它們的預測結果是不同的。例如，當測量物理量時，pure state 中會出現干涉項，而 mixed state 中則沒有。只有 pure state 的描述才能與量子力學的實驗結果一致。

Pure State

Pure State 代表我們對系統有完全的了解，機率性源自量子力學的測量。

範例: 考慮一個自旋為 1/2 的電子，其自旋方向完全確定地指向正 z 軸方向。由於我們完全知道這個電子的自旋狀態，因此它是一個 pure state。即使我們知道自旋方向，當我們沿 x 軸測量自旋時，仍然會以 50% 的機率得到自旋向上，50% 的機率得到自旋向下。這種機率性並非源於我們對系統缺乏了解，而是量子力學內在的性質。

Mixed State

Mixed State 代表我們對系統只有部分了解，機率性源於我們缺乏資訊。

範例: 假設有一個粒子，它可能處於以下兩種狀態之一：狀態 $\lvert\psi_1\rangle$ 機率為 60%。狀態 $\lvert\psi_2\rangle$ 機率為 40%。我們並不知道粒子實際上處於哪種狀態，只知道它處於 $\lvert\psi_1\rangle$ 或 $\lvert\psi_2\rangle$ 的機率。這種情況下，我們描述的是一個 mixed state，因為我們缺乏關於系統狀態的完整資訊。這種不確定性並非源於量子力學本身，而是源於我們對系統的了解不夠。

Density Operator

密度算符 (Density operator) 在量子力學中是一個非常有用的工具，主要用途:

描述混合態 (Mixed States): 當我們對一個量子系統的資訊不完全時，系統可能處於不同的純態 (Pure states) 的統計混合。密度算符提供了一種描述這種混合態的便捷方式。
- 純態的密度算符: 定義為 $\hat{\rho_k}=\rvert \psi_k\rangle\langle \psi_k\rvert$。“For a pure state $\psi_k$ we define the density operator $\hat{\rho_k}$ as the outer product of $\psi_k$ with itself.”
- 混合態的密度算符: 定義為 $\hat{\rho}=\sum_k{p_k\hat{\rho_k}}$。“The density operator for mixed states which we call $\hat{\rho}$ as the sum over $k$ of $p_k$ times the density operator for each individual pure state $\hat{\rho_k}$.”
簡化計算: 例如，計算一個算符的期望值 (Expectation value) 時，可以使用以下公式：$\langle \hat{A} \rangle = \text{Tr}(\hat{\rho} \hat{A})$，其中 Tr 代表跡 (Trace)，也就是矩陣對角線元素的總和。
判斷量子態是純態還是混合態
- Pure states: $\hat{\rho_k}^2 = \hat{\rho_k}$ and $\text{Tr}(\hat{\rho_k}^2) = 1$
- Mixed States: $\hat{\rho}^2 \neq \hat{\rho}$ and $\text{Tr}(\hat{\rho}^2) < 1$