追加一些深入探討，以及解決上一篇留下的疑問。
有錯再麻煩指正，感謝。
前言
上一篇 Shor’s Algorithm 中，圖形化範例使用的是 2-bit，後來仔細想想，因為剛好可以解決 $N = 15, g=7$ 的問題，導致看不出 phase kickback 的影響。因此本篇使用更多的 counting bit 來嘗試說明。
使用更大的 t 來說明
在 $t = 4$ 的情況下，若使用之前文章 (Quantum Phase Estimation - 邏輯閘) 的公式 ($c[i]$ 在 IQFT 的輸入為 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle+e^{2\pi i (2^{t-i-1}\frac{s}{r})}\lvert 1\rangle), \frac{s}{r} = \varphi$)，會發現符合預期，即 $c[2], c[3]$ 會被抵銷掉。而會被抵銷的原因就是從下方 $\mu$ 的 phase kickback 所導致 (這在 $t = 2$ 時看不出來)。
$t = 4, 0\le i <t, k = i+1, r = 4$
| $c[i]$ | $k$ | $e^{2\pi i (2^{t-k}\times\frac{0}{r})}$ | $e^{2\pi i (2^{t-k}\times\frac{1}{r})}$ | $e^{2\pi i (2^{t-k}\times\frac{2}{r})}$ | $e^{2\pi i (2^{t-k}\times\frac{3}{r})}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $c[0]$ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $c[1]$ | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $c[2]$ | 3 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| $c[3]$ | 4 | 1 | i | -1 | -i |
上方表格展示了 $c[i]$ 對應的輸出 (IQFT 的輸入)，若是增加 counting bit 的數量，後來增加的也都會因為週期關係使得總和為 $0$。這裡對應的就是 Shor’s Algorithm - Eigenvector 的四個 eigenvector。圖形化對應如下圖，可以看到下方 $\mu$ 的輸出與有沒有 $c[2], c[3]$ 無關。因此 $t=4$ 只會有四種觀測結果 (‘0000’, ‘0100’, ‘1000’, ‘1100’) 因為前兩個位元還是 0, 1 各半的疊加態，其餘為 0。
t = 4; CC BY 4.0 Huang, Po-Hsuan
同理，$t$ 變大時一樣只會有四種觀測結果 (‘000…0’, ‘010…0’, ‘100…0’, ‘110…0’) 因為前兩個位元還是 0, 1 各半的疊加態，其餘為 0。
Generalized; CC BY 4.0 Huang, Po-Hsuan
結語
解決上一篇提出的兩個問題:
- $\mu$ 的部分，輸出似乎不是 $\mu$ 本身，而是四種狀態 (1, 4, 7, 13) 隨機出現。$\Rightarrow$ 沒錯，因為 1 是四種的疊加狀態，因此觀測時只會出現其中一種。
- 無法直觀看出 QPE 中 phase kickback 的影響。$\Rightarrow$ $t=2$ 時剛好無法呈現其影響，本篇使用更大的 $t$ 藉此說明該現象。